乗算法

2025年10月17日

乗算法

英語表記: Multiplication Method

概要

乗算法（じょうざんほう）は、基数変換、特に10進数を2進数や16進数といったN進数に変換する際に用いられる計算原理を指します。厳密には、10進「小数」をN進数に変換する際に、基数（この場合は2）を繰り返し乗算する手法が一般的ですが、本稿が扱う「基数変換（二進数, 十六進数） → 10 進⇔2 進変換 → 整数変換」の文脈においては、N進数の「位取りの原理」を理解し、10進数を2のべき乗の和として表現し直す「展開法」の基礎として捉えられます。これにより、私たちが普段使っている10進数の整数が、コンピュータ内部でどのように2進数として表現されているのか、その構造を深く理解することができます。

詳細解説

乗算法の目的と位置づけ

私たちが10進整数を2進数に変換する際、通常は「除算法」（2で繰り返し割り、余りを求める方法）を用います。しかし、乗算法は、その変換結果である2進数が持つ「意味」を理解するために不可欠な概念です。2進数の各桁（ビット）は、それぞれ特定の「重み」を持っており、その重みは基数2のべき乗（$2^0, 2^1, 2^2, \dots$）によって定められています。この重みに、その桁の値（0または1）を「乗算」し、それらを合計することで、元の10進数に戻るという原理が乗算法の核となります。

このタキソノミー（10 進⇔2 進変換 → 整数変換）の中で乗算法を扱う意義は、変換の「原理」を理解することにあります。10進数 $D$ を2進数 $(b_n b_{n-1} \dots b_1 b_0)_2$ に変換するということは、次の式を満たす係数 $b_i$ を見つけることに他なりません。

$$ D = b_n \times 2^n + b_{n-1} \times 2^{n-1} + \dots + b_1 \times 2^1 + b_0 \times 2^0 $$

この式自体が、各桁の値 $b_i$ に位の重み $2^i$ を「乗算」し、合計するという操作を示しているため、これを広義の乗算法、または展開法と呼びます。

動作原理：位取りの重み付け

乗算法を用いた10進整数から2進整数への変換（展開）は、与えられた10進数が、どの2のべき乗（重み）の組み合わせで構成されているかを特定する作業です。これは、除算法の逆の視点、つまり「結果から原因を推測する」アプローチと見なすこともできます。

重みの特定: 変換したい10進数 $D$ よりも小さく、かつ最も近い2のべき乗（$2^n$）を見つけます。
引き算と乗算: その重み $2^n$ が $D$ の中に含まれているか（つまり、係数 $b_n$ が 1 か 0 か）を確認します。含まれていれば1とし、残りの値（$D – 2^n$）を次のステップに持ち越します。これは「乗算の結果の確認」をしていることに相当します。
繰り返し: $2^{n-1}, 2^{n-2}, \dots, 2^0$ と、重みを下げながらこの作業を繰り返し、すべての重みに対する係数（ビット）を確定させます。

この手法は、特に大きな数値を変換する際や、頭の中で変換の仕組みをシミュレーションする際に非常に有効です。除算法が機械的な手順であるのに対し、乗算法（展開法）は、基数変換の数学的な背景を直感的に理解させてくれる、素晴らしいツールだと私は感じています。

なぜ整数変換の文脈で重要か

基数変換において、小数の変換には確かに「乗算法」（2をかけ続ける）を用います。しかし、整数変換であっても、この「乗算による重み付け」の概念は、コンピュータのデータ表現の根幹に関わります。例えば、2進数の桁数が有限であること（オーバーフローの概念）や、符号付き整数（補数表現）の仕組みを理解するためには、各ビットが持つ「重み」（乗算結果）の正確な理解が必須となるからです。したがって、整数変換の基礎知識として、乗算法の原理は欠かせない要素なのです。

具体例・活用シーン

10進数 25 を 2進数へ変換する例

ここでは、10進数 25 を2進数に変換する際に、乗算法（展開法）の原理をどのように適用するかを見ていきましょう。

重みリストの作成: まず、25 以下の2のべき乗の重みをリストアップします。
- $2^4 = 16$
- $2^3 = 8$
- $2^2 = 4$
- $2^1 = 2$
- $2^0 = 1$
重みの選定（乗算の確認）: 25 を構成するために、これらの重みの中から必要なものを選び出します。
- 16の位 ($2^4$): 25 は 16 を含みますか？はい（係数 $b_4 = 1$）。
  - 残りの値: $25 – 16 = 9$
- 8の位 ($2^3$): 9 は 8 を含みますか？はい（係数 $b_3 = 1$）。
  - 残りの値: $9 – 8 = 1$
- 4の位 ($2^2$): 1 は 4 を含みますか？いいえ（係数 $b_2 = 0$）。
- 2の位 ($2^1$): 1 は 2 を含みますか？いいえ（係数 $b_1 = 0$）。
- 1の位 ($2^0$): 1 は 1 を含みますか？はい（係数 $b_0 = 1$）。
  - 残りの値: $1 – 1 = 0$
結果の結合: 係数を大きい位から並べると、11001 となり、$(25)_{10} = (11001)_2$ と変換されます。

このプロセスは、各重み（$2^i$）に対して、その重みを何回「乗算」すれば元の数に近づくか（ここでは係数 0か1）を判断しているため、乗算法の原理に基づいていると言えるのです。

メタファー：両替機としての乗算法

乗算法の原理を理解するために、「両替機」のメタファーを使ってみるのはいかがでしょうか。

あなたが持っている10進数 25円は、大きな額の紙幣だと想像してください。あなたはこれを、特定の種類の硬貨（2進数の重み $2^n$）のみを使って両替したいと思っています。使用できる硬貨は、16円、8円、4円、2円、1円の5種類しかありません。

最大の硬貨から使う: 25円に対して、まず最大の硬貨である16円を使います（1枚確保）。
残りを処理: 残った 9円に対して、次に大きな硬貨である8円を使います（1枚確保）。
さらに残りを処理: 残った 1円に対して、4円と2円は大きすぎるので使えません（0枚）。最後に1円を使います（1枚確保）。

最終的に、あなたは「16円 1枚、8円 1枚、4円 0枚、2円 0枚、1円 1枚」という組み合わせで 25円を表現できました。

この両替のプロセスこそが乗算法の原理です。それぞれの硬貨の有無（1か0）が2進数のビットに対応しており、硬貨の額面が2のべき乗による「重み」に対応しています。この考え方を理解すると、「基数変換（二進数, 十六進数）」の基礎が揺るぎないものになるはずです。

資格試験向けチェックポイント

ITパスポート、基本情報技術者、応用情報技術者試験において、基数変換は必ず出題される重要テーマです。乗算法を理解していると、単純な計算問題だけでなく、計算原理を問う応用的な問題にも対応できるようになります。

1. 除算法との使い分けの理解

典型的な問われ方: 10進整数を2進数に変換する問題が出た場合、計算のスピードを重視するなら「除算法」を使います。しかし、「2進数の各桁が持つ重みを答えなさい」といった原理を問う問題では、乗算法（展開法）の知識が不可欠です。
対策のヒント: 変換の計算ミスを防ぐためにも、除算法で求めた結果が正しいか、乗算法（展開法）を使って検算する習慣をつけると確実性が増します。

2. 位の重み（2のべき乗）の暗記

必須知識: 乗算法は、2のべき乗（$2^n$）の重みを理解していることが前提となります。試験では、少なくとも $2^0$ から $2^{10}$ までの値（1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024）を即座に答えられるようにしておきましょう。
応用への展開: 応用情報技術者試験や高度試験では、この知識が、IPアドレスのサブネットマスク計算（2進数とビット単位の操作）や、データ構造のサイズ計算など、より複雑な文脈で利用されます。乗算法の原理を深く理解している人ほど、これらの応用問題に強く対応できます。

3. 小数変換との区別

注意点: 一般的な教科書では、10進小数 $\rightarrow$ 2進小数への変換を「乗算法」（2をかけ続ける）と呼びます。試験で「乗算法」という用語が出た場合、文脈（整数か小数か）を必ず確認してください。
整数変換の文脈: 本稿で解説したように、整数変換における乗算法は、むしろ「展開法」や「重み付けの原理」を指していると解釈し、2進数の位取りの仕組みを説明できるように準備しておくことが重要です。