反転+1

2025年10月17日

反転+1

英語表記: Invert + 1

概要

「反転+1」（Invert + 1）とは、コンピューターが負の数を表現するために用いる2の補数を求める際の、最も標準的で直感的な計算手順のことです。これは、二進数（基数変換）の文脈において、正の数を対応する負の数に変換する手法であり、具体的には「すべてのビットを反転させる（0を1に、1を0にする）」操作と、その結果に「1を加える」操作の二段階から成り立っています。この手順は、コンピューターが引き算を足し算のみで処理し、演算回路をシンプルに保つために不可欠な技術です。

詳細解説

2の補数と反転+1の目的（文脈：補数表現と負数）

私たちが現在議論している「反転+1」は、「基数変換（二進数）」の中の「補数表現と負数」という非常に重要な領域に位置しています。なぜこの手順が必要なのでしょうか？

コンピューターは基本的に足し算しか得意ではありません。引き算を行うための専用回路を作るのは複雑でコストがかかります。そこで、天才的なひらめきが生まれました。それは、「負の数」を、ある特別な「正の数」として表現し、足し算で引き算を実現するという手法です。この特別な表現方法こそが「2の補数」です。

例えば、「5 – 3」を計算したいとき、コンピューターは「5 + (-3)」として処理します。この「-3」を二進数でどのように表現するかが鍵となります。

反転+1の具体的な手順と動作原理

正の二進数を2の補数（負の数）に変換する際、以下の明確な二段階を踏みます。これこそが「反転+1」の名の由来です。

ステップ1：ビットの反転（1の補数を求める）

まず、元の二進数のすべてのビットを反転させます。この操作を「1の補数を求める」とも呼びます。
* 0は1に、1は0に置き換えます。

これは、元の数と反転した数を足すと、すべての桁が1になるという性質を持っています。例えば、4ビットで「0101 (5)」を反転させると「1010」になります。この二つを足すと「1111」になりますね。

ステップ2：1の加算

ステップ1で得られた結果（1の補数）に対して、末尾の桁に「1」を加算します。
* 1010 + 1 = 1011

この最終的な結果「1011」が、元の数「0101 (5)」に対応する負の数、すなわち「-5」の2の補数表現となるわけです。

なぜ「+1」が必要なのか（文脈：2の補数）

この「+1」が非常に重要で、1の補数と2の補数を明確に分けるポイントです。

もし「+1」をしない1の補数だけを使って負数を表現すると、困った問題が発生します。それは「ゼロ」の表現です。4ビットの場合、「0000」が正のゼロですが、これを反転させると「1111」となり、これもゼロとして扱われてしまうのです（マイナスゼロ）。

コンピューターの世界では、ゼロは一つであるべきです。

2の補数表現では、この「マイナスゼロ」の問題を解消し、表現できる負の数の範囲を一つ広げることができます。ステップ2で1を加えることで、桁上がりを利用し、ゼロの表現を一意にする、非常に巧妙な仕組みになっているのですね。この「反転+1」の手順こそが、2の補数表現を負数表現のデファクトスタンダードたらしめている理由なのです。

具体例・活用シーン

具体的な計算例

8ビットで「12」を「-12」に変換する例を見てみましょう。

正の数（12）の二進数表現:
$$0000\ 1100$$
ステップ1：ビットの反転（1の補数）:
すべての0と1を反転させます。
$$1111\ 0011$$
ステップ2：1の加算:
結果に1を足します。
$$1111\ 0011 + 0000\ 0001 = 1111\ 0100$$

この最終的な「$1111\ 0100$」が、8ビット環境における「-12」の2の補数表現となります。

類推：時計の文字盤と補数表現

初心者の方が「なぜ反転して1を足すと負数になるのか？」と疑問に思うのは当然です。これは、私たちが普段使っている十進数の世界とは少し感覚が違うためです。ここで、非常に有名な時計の文字盤の比喩を使ってみましょう。

あなたは12時間表示の時計を持っていると想像してください。現在の時刻は「8時」です。ここから「5時間戻りたい（引き算）」とします。

通常の引き算: 8 – 5 = 3時。
補数を使った足し算: 5時間戻る代わりに、時計を「7時間進める」ことを考えます（12 – 5 = 7）。
8 + 7 = 15。12を法とする（12で割った余り）ので、15時 mod 12 = 3時。

この「7」という数字が、12を基数としたときの「-5」の補数表現に当たります。

コンピューターの二進数における「反転+1」も、この原理と同じです。二進数で表現できる最大の数（例えば8ビットなら256）を基数としたとき、元の数（正の数）と、2の補数表現された負の数（反転+1で得られた数）を足すと、必ず桁上がりが発生し、結果として基数分を引いた値（つまり正しい引き算の結果）が得られるよう設計されているのです。

「反転+1」は、この時計の比喩でいうところの「進めるべき時間（補数）」を、二進数の特性を利用して非常に効率的に見つけ出すための秘伝の計算手順だとイメージしていただけると、理解が深まります。

資格試験向けチェックポイント

「反転+1」は、基数変換の中でも特に計算問題として頻出する重要テーマであり、ITパスポート、基本情報技術者、応用情報技術者のすべてのレベルで問われます。

ITパスポート/基本情報技術者試験（計算問題）:
- 典型的な出題パターン: 4ビット、8ビット、または16ビットの二進数が与えられ、「この数を2の補数を用いて負数に変換しなさい」という形式で出題されます。手順（反転→+1）を正確に実行できるかが問われます。
- 重要テクニック: 桁あふれ（オーバーフロー）の判定と関連づけて出題されることもあります。最上位ビット（MSB）が符号ビットであることを常に意識し、結果の符号が正しくなるかを確認する癖をつけましょう。
応用情報技術者試験（原理・応用）:
- 典型的な出題パターン: 2の補数表現がなぜ優れているのか、1の補数との違い、演算（加算・減算）を実際に行わせる問題など、より深い理解が求められます。「反転+1」という手順そのものよりも、この手順によって得られた負数を用いて、実際に減算（例：A – B）を加算（例：A + (-B)）として実行し、正しい結果が得られるかを検証させる問題が多いです。
- 注意点: 負数を正数に戻すときも、「反転+1」を再度行います。例えば、「-5」の2の補数表現を元の正の数に戻す際も、「反転+1」を適用すれば「5」に戻ることを確認しておきましょう。
暗記のコツ:
- 「反転して、すぐに1を足す」という語呂で手順を忘れないようにしましょう。1の補数と混同しないよう、「2の補数＝反転+1」とセットで覚えることが合格への近道です。