10 の補数

2025年10月17日

10 の補数

英語表記: Ten’s Complement

概要

10 の補数（じゅうのほすう）は、主に10進数（私たちが日常的に使う数体系）において、負の数を表現するために用いられる手法の一つです。これは、電子計算機や初期の機械式計算機が引き算を足し算として処理できるようにするための、非常に巧妙な工夫です。

この概念は、IT用語集の分類上、「基数変換（二進数, 十六進数）」という大きな枠組みの中で、「補数表現と負数」というテーマに属し、さらに「その他の補数」として位置づけられます。なぜなら、現代のデジタルコンピュータの主流は2進数（2の補数）ですが、10の補数は、基数（この場合は10）を一般化して補数表現の仕組みを理解する上で、非常に重要な基礎概念だからです。

詳細解説

補数表現の目的と10の補数の役割

補数表現の最大の目的は、計算機に「引き算」という複雑な処理を行わせずに、「足し算」だけで済ませることです。計算機にとって、引き算は符号を反転させる追加の回路やステップが必要になりますが、足し算だけならば回路設計がシンプルになります。

私たちが学んでいるITの文脈では、通常、コンピュータは2進数（基数2）を用います。そのため、負数を表現するには「2の補数」が主役となります。しかし、「10の補数」は、この仕組みを10進数に適用したものです。つまり、「基数 $R$ の補数」という一般論を理解するための、最も身近な具体例だと捉えていただくとわかりやすいでしょう。

10の補数の計算方法

10の補数を求める方法は、一般的に「基数 $R$ の補数」を求める公式に基づいています。

10進数 $N$ の $n$ 桁表示における10の補数は、以下の手順で求められます。

9の補数（基数-1の補数）を求める: まず、対象となる数 $N$ の各桁の数字を9から引きます。これが「9の補数」です。
1を加える: 9の補数に1を加えます。これが「10の補数」となります。

例えば、4桁の数 $N = 3456$ の10の補数を求めてみましょう。

9の補数:
$9999 – 3456 = 6543$
10の補数:
$6543 + 1 = 6544$

この計算結果 $6544$ は、4桁の世界において $-3456$ を表現していることになります。

補数による引き算の仕組み

なぜこれで引き算ができるのでしょうか？

例として、$8765 – 3456$ という計算を、10の補数を使って足し算に置き換えてみます。

引かれる数 $A = 8765$
引く数 $B = 3456$ の10の補数 $B’ = 6544$ を使います。
$A + B’$ を計算します。
$8765 + 6544 = 15309$

ここで、結果が5桁（15309）になりました。4桁で計算しているので、最も左の桁（最上位桁）の「1」は桁あふれ（オーバーフロー）とみなし、無視します。

残った下4桁は $5309$ です。

本来の引き算 $8765 – 3456$ の答えは $5309$ ですから、正しく計算できました。計算機は、この桁あふれを無視するだけで、引き算の回路を持たずに済むのです。これは本当に素晴らしい仕組みですよね。

階層における位置づけの重要性

この概念が「基数変換（二進数, 十六進数） → 補数表現と負数 → その他の補数」に分類されるのは、以下の理由からです。

基数変換の一般論: 10の補数は基数10に特化していますが、2の補数（基数2）や16の補数（基数16）といった、他の基数での補数表現を理解するための土台となります。基数変換の原理を応用しているわけです。
補数表現と負数: 負の数を正の数と同じ形式（補数）で表現し、演算を統一するという「補数表現と負数」の核心的な役割を果たしています。
その他の補数: 現代のITシステムの主流は2進数であるため、10の補数は直接的な計算処理には使われません。しかし、初期の機械式計算機では利用されていましたし、概念理解のためには不可欠なため、「その他の補数」として扱われます。

具体例・活用シーン

1. お釣りの計算のメタファー

10の補数の仕組みを理解する上で、最も分かりやすいのが「お釣りの計算」のメタファーです。

あなたは1000円札を持っていて、350円の商品を買いたいとします。通常は $1000 – 350 = 650$ と引き算をします。

これを補数で考えると、少し変わった視点が得られます。

まず、350円を「1000円の世界での負の数」として表現します。
1000円（3桁なら999+1）の世界で、350の10の補数を求めます。

9の補数: $999 – 350 = 649$
10の補数: $649 + 1 = 650$

この「650」という補数は、まさに「350円の商品を買ったときに、1000円札から戻ってくるお釣り」に他なりません。

つまり、10の補数とは、「ある桁数（規模）の世界において、その数を加えたらちょうど桁が繰り上がる（ゼロに戻る）ために必要な数」だと考えることができるのです。計算機は、この「ゼロに戻すための数」（補数）を足すことで、実質的に引き算を実現しているわけです。計算機は引き算が苦手なので、この方法でごまかしている、と考えると面白いですね。

2. 自動車のオドメーターの例

もう一つ、桁あふれを伴う補数表現の例として、自動車のオドメーター（走行距離計）を考えます。

古いオドメーターが最大99999kmまでしか表示できないと仮定します。

現在 $20000$ kmだとします。ここから $5000$ kmを引く（巻き戻す）という操作を考えます。

引く数 $N=5000$ の10の補数を求めます。
$99999 – 5000 = 94999$ (9の補数)
$94999 + 1 = 95000$ (10の補数)
現在の走行距離に、この補数を足します。
$20000 + 95000 = 115000$
6桁目が桁あふれ（オーバーフロー）を起こし、無視されます。
残るのは $15000$ kmです。

本来の引き算 $20000 – 5000$ の結果も $15000$ kmです。
オドメーターが巻き戻る代わりに、大きな数（補数）を足すことで、桁あふれを利用して正しい結果を得ている。これもまた、補数表現の強力な力を示している例だと思います。

資格試験向けチェックポイント

10の補数そのものが、ITパスポートや基本情報技術者試験で直接的に「10の補数を求めなさい」と問われることは稀です。なぜなら、主戦場は2進数（2の補数）だからです。しかし、「その他の補数」として、概念的な理解を問う問題の中で非常に重要になります。

押さえておくべき重要事項:

2の補数との対比: 10の補数（基数 $R=10$ の補数）は、9の補数（基数-1の補数）に1を加えます。同様に、2の補数（基数 $R=2$ の補数）は、1の補数（基数-1の補数）に1を加える、という一般規則を理解しましょう。この法則が分かれば、すべての基数における補数計算に対応できます。
なぜ「その他の補数」か: 10の補数は、コンピュータ内部の負数表現としては主流ではないため、「その他の補数」に分類されますが、これはコンピュータ科学の基礎理論を支える重要な柱の一つであるという認識を持つべきです。