グルーピング

2025年10月19日

グルーピング

英語表記: Grouping

概要

「グルーピング」とは、デジタル回路の設計において、論理式を最も簡単な形に変換するために使用される手法であるカルノー図（Karnaugh Map）における、中心的な作業工程のことを指します。具体的には、カルノー図上の隣接する「1」（真の値、最小項）を、2のべき乗（1, 2, 4, 8…）の数でまとめて囲む作業です。この作業こそが、論理回路を構成するゲートの数を減らし、回路の最適化を実現するための鍵となり、論理回路とゲートの分野における「回路簡略化と最適化」という目標を達成します。

詳細解説

グルーピングは、論理回路とゲートの分野における「回路簡略化と最適化」を達成するための、非常に視覚的で強力なツールであるカルノー図の心臓部と言っても過言ではありません。この作業を通して、私たちは複雑な論理式を最小限のゲート数で実現する方法を見つけ出します。

目的：なぜグルーピングが必要なのか

私たちが複雑な論理式をそのまま回路に実装しようとすると、多数のANDゲート、ORゲート、NOTゲートが必要になり、その結果、回路の物理的なコスト（部品代）が高くなるだけでなく、信号が回路を伝わる際に発生する遅延（伝搬遅延）も増大してしまいます。グルーピングの最大の目的は、これらのゲート数を最小限に抑え、より経済的で高速な回路を実現することです。これは「回路簡略化と最適化」という中間カテゴリの目標そのものですね。

グルーピングの基本ルール

最適化された論理式を導出するためには、グルーピングを行う際に以下の厳格なルールを守る必要があります。これらのルールは、論理学の吸収則という数学的な根拠に基づいており、冗長な変数を論理式から排除するために不可欠です。

2のべき乗で囲む: グループは必ず1つ、2つ、4つ、8つといった2のべき乗の数の「1」を含まなければなりません。中途半端な3つや6つで囲むことは許されません。
長方形または正方形: グループは連続した長方形または正方形の形をしていなければなりません。
できるだけ大きく: 簡略化の効果を最大にするためには、可能な限り大きなグループを作る必要があります。大きなグループを作るほど、最終的な論理式から消去できる変数の数が増え、回路がシンプルになります。これは非常に重要なポイントです。
すべての「1」をカバーする: カルノー図上のすべての「1」が、少なくとも一つのグループに含まれている必要があります。
重複を許容する: すでに他のグループに含まれている「1」を、より大きなグループを作るためや、残りの「1」をカバーするために再利用しても構いません。
端の接続（折り返し）: カルノー図の左右の端や上下の端は、論理的に隣接していると見なされます。このため、図を丸めてドーナツ状に繋がっているかのように、端をまたいでグルーピングすることができます。この折り返しを見落とすと、最適化が不十分になってしまうことが多いので、特に注意が必要です。

動作原理：変数が消去される仕組み

グルーピングの核となる原理は、隣接するセルを囲むことで、その隣接関係に対応する変数が論理式から消去されるという点にあります。

例えば、4変数カルノー図において、水平に隣接する2つの「1」を囲んだ場合を考えてみましょう。この2つのセルは、ある特定の変数（例：A）について、一方はAが真（1）であり、もう一方はAが偽（0、$\bar{A}$）であるという違いしか持っていません。

論理学の吸収則（$A \cdot B + \bar{A} \cdot B = B$）により、値が反転している変数（この例ではA）は消去され、共通する変数（B）だけが残ります。

この原理により、2つのセルをグループ化すると1つの変数が消え、4つのセルをグループ化すると2つの変数が消え、8つのセルをグループ化すると3つの変数が消える、というように、グループのサイズが大きくなるほど、論理式は劇的に簡略化されていきます。これがまさに「回路簡略化と最適化」を実現する仕組みであり、カルノー図の最大のメリットと言えます。