旅行セールスマン問題

2025年10月20日

旅行セールスマン問題

英語表記: Traveling Salesman Problem (TSP)

概要

旅行セールスマン問題（TSP）は、「アルゴリズムと計算量」の分野、特に「計算複雑性理論」において非常に重要な位置を占める最適化問題です。複数の都市と、それらを結ぶ移動コスト（距離や時間）が与えられたとき、すべての都市を一度だけ訪問し、出発地に戻ってくる最短の巡回経路を見つけることを目的としています。この問題は、解の候補を検証することは容易であるものの、最適な解そのものを多項式時間で見つけ出すことが極めて困難であることが知られており、NP完全問題の代表格として扱われています。計算機科学の限界を示すベンチマークとして、多くの研究者に挑戦され続けている、非常に興味深い問題なのですよ。

詳細解説

旅行セールスマン問題は、単なる最短経路探しではなく、「計算複雑性理論」の核心に触れる問題として深く研究されています。なぜなら、都市の数が増えるにつれて、考えられる巡回経路の組み合わせが爆発的に増大するからです。

1. 目的と構成要素

この問題の目的は、与えられた制約（すべての都市を一度だけ訪問し、出発点に戻る）の下で、総移動コスト（距離）を最小化することです。

都市（ノード）: 訪問すべき地点です。
移動コスト（エッジ）: 都市間を結ぶ経路にかかるコスト（距離、時間、燃料費など）です。
巡回路: すべての都市を一度ずつ通って出発点に戻る経路です。

2. 計算の難しさ（NP完全性）

本問題が「NP完全問題」に分類される理由は、その計算の難しさにあります。都市の数が $N$ 個ある場合、可能な巡回路の総数は最大で $(N-1)! / 2$ 通りにもなります。

例えば、都市が10個であれば、約18万通りの経路があります。これは総当たり（ブルートフォース）で計算できます。しかし、都市が50個になると、その組み合わせは天文学的な数字となり、現在のスーパーコンピュータを使っても、宇宙が終焉するよりも長い時間がかかると試算されています。

この計算量の爆発的な増加こそが、「アルゴリズムと計算量」の文脈でTSPが重要視される所以です。最適解を見つけるアルゴリズムが、都市数 $N$ に対して指数関数的な時間（$O(c^N)$）を要するため、「多項式時間」（$O(N^k)$）で解を保証するアルゴリズムが存在しないと考えられているのです。

3. NP完全問題としての位置づけ

TSPの「決定版」（「コストが $K$ 以下である巡回路が存在するか？」という問い）は、NP完全問題です。これは以下の二つの性質を満たすことを意味します。

NP (Non-deterministic Polynomial time): 提案された巡回路が実際にコスト $K$ 以下であるかどうかを検証する作業は、都市数 $N$ の多項式時間で簡単に実行できます。つまり、解の「検証」は容易なのです。
NP困難 (NP-hard): 他のNP完全問題（例えば、ハミルトン閉路問題）を、多項式時間でTSPに変換（帰着）できることが証明されています。

したがって、もし誰かがTSPを多項式時間で解くアルゴリズムを発見すれば、それはすべてのNP完全問題を多項式時間で解けることを意味し、「P = NP」という計算機科学最大の未解決問題を解決することになります。この難しさが、この問題の魅力であり、私たちが計算複雑性理論を学ぶ上で避けて通れないテーマなのです。

具体例・活用シーン

TSPは抽象的な数学の問題にとどまらず、現実世界のさまざまな「最適化」ニーズに直結しています。

1. 現実世界の応用例

物流・配送計画: 宅配業者が複数の配送先を効率よく回るルートを決定する際に応用されます。ガソリン代や配達時間の最小化は、そのまま企業のコスト削減に繋がります。
LSI（大規模集積回路）設計: コンピュータチップ内の電子部品を接続する配線の最適化に応用されます。配線が短ければ短いほど、信号伝達が速くなり、消費電力が抑えられます。
DNAシーケンシング: ゲノム解析において、DNAの断片を正しい順序に並べ替える際にも、TSPの考え方が利用されます。

2. アナロジー：迷宮をさまよう郵便配達員

初心者の方には、TSPの難しさを「迷宮をさまよう郵便配達員」のストーリーで理解していただくのが一番わかりやすいと思います。

ある郵便配達員が、100軒の家に手紙を配り、郵便局に戻らなければなりません。彼は「絶対に最短距離で回る」という使命を持っています。

最初の家に行く選択肢は99通りあります。
次の家に行く選択肢は98通りあります。
…と続きます。

彼は、100軒すべてを回るルートを一つ一つ試す必要があります。配達員はこう考えるでしょう。「もし私が一つでも間違ったルートを選んだら、最短ルートを逃してしまうかもしれない。すべての可能性を試すまでは、安心できない！」

しかし、100軒の組み合わせは途方もない数です。彼はルートの候補を一つ検証するのに1分かかると仮定しても、最適な一本を見つけるまでに何兆年もかかってしまいます。

この郵便配達員が直面する絶望的な状況こそが、TSPが持つ計算量の爆発、すなわち「NP完全」の性質を端的に示しています。私たちは通常、厳密な最適解ではなく、「まあまあ短い近似解（ヒューリスティクス）」で妥協せざるを得ないのです。

資格試験向けチェックポイント

IT資格試験、特に基本情報技術者試験や応用情報技術者試験では、「アルゴリズムと計算量」の分野において、TSPが計算複雑性理論の具体例として出題されることが多いです。

P問題、NP問題、NP完全問題の区別:
- TSPはNP完全問題の代表例であることを必ず覚えてください。
- 「NP完全問題は、多項式時間で解を見つけるアルゴリズムが存在しないと考えられている問題群である」という定義を結びつけておきましょう。
キーワードの関連付け:
- 「旅行セールスマン問題」が出たら、「NP完全」「計算量の爆発」「指数関数時間」「多項式時間での解法は未発見」といった用語を即座に連想できるようにしてください。
最適解と近似解:
- 現実の応用では、TSPの厳密な最適解を求めるのではなく、「ヒューリスティクス（発見的手法）」や「近似アルゴリズム」を用いて、実用的な時間で『そこそこ良い解』を見つけることが多い、という事実が出題されやすいです。局所探索法や遺伝的アルゴリズムなどが、その具体例として挙げられます。
計算複雑性の文脈:
- 「計算複雑性理論において、TSPはなぜ重要か？」という問いに対して、「P=NP問題の解決に直結するため」と答えられるように準備しておきましょう。