2 進小数の誤差

2025年10月17日

2 進小数の誤差

英語表記: Binary Fraction Errors

概要

2進小数の誤差（Binary Fraction Errors）とは、私たちが日常的に使用する10進数の小数を、コンピュータが扱う2進数の小数に変換（10進⇔2進変換）する際に、数学的に避けられない微小なズレが生じる現象のことです。この誤差は、10進数では有限な桁数で表せる小数（例：0.1や0.3）が、2進数に変換すると無限に続く循環小数になってしまうために発生します。コンピュータが格納できるビット数には限りがあるため、無限の表現を途中で打ち切る（丸める）必要があり、その結果、元の数値とはわずかに異なる値として記憶されてしまうのです。

詳細解説

基数変換における誤差発生のメカニズム

この概念は、「基数変換（二進数, 十六進数）」という大きな枠組みの中で、特に「10進⇔2進変換」の「小数変換」を行う際に直面する、非常に重要な課題です。なぜこのような誤差が生じるのでしょうか。それは、各基数が「割り切れる」分数の構造が異なるためです。

10進数（基数10）の世界では、分母が10の約数である2や5を含む分数は、有限小数として表現できます（例：1/2=0.5、1/5=0.2、1/10=0.1）。しかし、2進数（基数2）の世界で有限小数として表現できるのは、分母が2の累乗（2, 4, 8, 16…）である分数に限られます。

私たちがよく使う「0.1」を考えてみましょう。これは分数で1/10です。この分母10には、2だけでなく5も含まれています。この「5」の要素が、2進数での表現を困難にさせます。

10進小数を2進小数に変換する標準的な手順は、「小数部分を繰り返し2倍し、その都度整数部分を取り出す」という方法です。

| 操作 | 結果 | 整数部 (2進数の桁) |
| :— | :— | :— |
| 0.1 × 2 | 0.2 | 0 |
| 0.2 × 2 | 0.4 | 0 |
| 0.4 × 2 | 0.8 | 0 |
| 0.8 × 2 | 1.6 | 1 |
| 0.6 × 2 | 1.2 | 1 |
| 0.2 × 2 | 0.4 | 0 |
| … | … | … |

ご覧の通り、0.4以降の操作が繰り返され、結果は $0.0001100110011…$ と無限に続きます。コンピュータはこの無限の列を、例えば32ビットや64ビットといった決められた「表現可能な桁数」で打ち切らなければなりません。

浮動小数点数との関係性

コンピュータは通常、この小数を「浮動小数点数」という形式で記憶しています。浮動小数点数は、符号部、指数部、仮数部という三つの要素で構成されており、非常に広い範囲の数値を表現できます。しかし、2進小数の誤差は、この仮数部（実際に数値の精度を担う部分）の長さが有限であるために発生します。

この誤差は、コンピュータのバグや故障ではありません。基数変換（10進⇔2進変換）という数学的プロセスにおいて、表現能力の限界から生じる、本質的な「丸め誤差」なのです。したがって、プログラミングやデータ分析を行う際には、この誤差の存在を常に意識しておく必要があります。特に、金融計算や科学技術計算など、高い精度が求められる分野では、この誤差が積み重なることで、最終的な計算結果に大きな影響を与える可能性があるため、非常に注意が必要です。

具体例・活用シーン

1. 金銭計算における誤差の蓄積

最も身近で深刻な例は、金銭計算です。例えば、あなたがプログラムで「0.1ドル」を10回足し算する処理を書いたとします。数学的には $0.1 \times 10 = 1.0$ になるはずです。

しかし、コンピュータ内部では0.1が正確に表現できていません。
$0.1_{10} \approx 0.0001100110011…_2$

このわずかにズレた数値を10回足し合わせると、誤差も10倍に蓄積されます。その結果、計算結果が $1.0$ ではなく $0.9999999999999999$ や $1.0000000000000001$ のようになってしまうことがあります。データベースで価格を比較する際や、合計金額を算出する際に意図しない結果を生み出す原因となります。

2. アナロジー：キリのいい定規と無限に細かい目盛り

この誤差を理解するためのアナロジーとして、「定規の目盛り」を想像してみてください。

私たちが使う10進数の定規は、10等分（ミリメートル）でキリが良く、0.1や0.5を正確に示せます。

一方、コンピュータが使う2進数の定規は、常に半分、さらに半分（1/2、1/4、1/8、1/16…）と目盛りが細かくなっています。

ここで、あなたが「10進数の定規で言うところの0.1の地点」を、2進数の定規で示そうと試みます。2進数の定規は、1/2、1/4、1/8…と目盛りを当てていきますが、どれだけ細かくしても、ちょうど0.1にぴったり合う目盛りは存在しません。0.1よりもわずかに手前の目盛りと、わずかに超えた目盛りしか見つからないのです。

コンピュータは仕方なく「一番近い目盛り」を選んで記録しますが、この「一番近い」という行為こそが、2進小数の誤差（丸め誤差）そのものなのです。基数変換の仕組み上、この誤差からは逃れられない、ということをこの物語は示しています。

資格試験向けチェックポイント

2進小数の誤差は、IT Passport（ITパスポート）や基本情報技術者試験、応用情報技術者試験といったIT資格において、数値表現や計算の仕組みを問う上で頻出するテーマです。特に「10進⇔2進変換」の「小数変換」の文脈で問われます。

押さえておくべき重要事項:

循環小数と誤差: 10進数で有限でも、2進数で無限に続く循環小数となる小数が誤差の原因であることを明確に理解してください。特に「0.1」の変換結果は暗記するほど重要です。
誤差の種類: この誤差は、表現可能な桁数を超えた部分を切り捨てる、または四捨五入することで生じる「丸め誤差」に分類されます。
試験対策の視点: 2進小数の誤差は、コンピュータが万能ではないこと、そしてデータを扱う上での制約を示す具体例として出題されます。「なぜ0.1+0.2が0.3にならないのか？」という問いに答えられるように準備しておきましょう。