長乗法

2025年10月18日

長乗法

英語表記: Long Multiplication

概要

長乗法（ちょうじょうほう）は、複数の桁を持つ数どうしを掛け算する際に、手作業で効率よく積を求めるための基本的な計算アルゴリズムです。この手法は、私たちが日常的に使う十進数だけでなく、IT分野で必須となる二進数や十六進数といった非十進数の基数変換の文脈においても、その計算原理がそのまま適用されます。基数変換（二進数, 十六進数）という上位カテゴリの中で、長乗法は複雑な乗算を手作業で行う際の変換ツールとしての実装手順として非常に重要な役割を果たしているのです。

詳細解説

長乗法は、「手計算アルゴリズム」という分類に属しており、その目的は大きな数の乗算を、より単純な一桁の乗算と加算の組み合わせに分解することにあります。これは、計算を機械的に、かつ正確に進めるための手順書だと考えていただくと分かりやすいでしょう。

1. 長乗法の基本構成要素と手順

長乗法の動作原理は、どの基数（N進数）においても共通しています。

部分積の算出（乗数の一桁ごとの乗算）：
被乗数全体に対し、乗数の最も右の桁から順に一桁ずつ掛け算を実行し、その結果を「部分積」として得ます。このステップが、複雑な乗算を単純な一桁乗算に分解する核となる部分ですね。
桁のシフト（位置合わせ）：
乗数の次の桁に移るたびに、その部分積を左へ一桁分シフトさせます。これは、乗数の桁が持つ重み（位取り）を反映させるために必須の手順です。例えば、十進数で「20」を掛ける場合、2を掛けてから結果を左にシフト（末尾に0を追加）するのと同じ原理です。
部分積の合計（最終的な積の算出）：
算出されたすべての部分積を、正しく位置合わせされた状態で縦に足し合わせます。この合計が、最終的な積となります。

2. 基数変換における長乗法の役割

長乗法は、十進数での計算に慣れている私たちにとって、二進数や十六進数での計算を理解するための架け橋となります。

A. 二進数（バイナリ）での適用

二進数（基数2）における長乗法は、他の基数に比べて非常にシンプルになります。なぜなら、乗数の一桁は「0」か「1」のどちらかしかないからです。

乗数が1の場合: 部分積は被乗数そのものになります。
乗数が0の場合: 部分積は0になります。

したがって、二進数の長乗法では、実質的に「シフト」と「加算」の操作のみが中心となります。このシンプルな構造は、コンピュータが内部で乗算を実行する際の基本的な論理回路設計（シフト＆アッド方式）の基礎にもなっており、手計算アルゴリズムがそのままハードウェア設計の思想に繋がっている点が非常に興味深いですね。

B. 十六進数（ヘキサデシマル）での適用

十六進数（基数16）の場合、長乗法は複雑さを増します。なぜなら、一桁の乗算の段階で、0からF（15）までの掛け算をマスターし、その都度、桁上げ（キャリー）を正しく処理する必要があるからです。

例えば、$A_{16} \times 5_{16}$ の計算では、$10 \times 5 = 50$ となり、これを十六進数で表現すると $32_{16}$ （$3 \times 16 + 2$）となります。部分積の計算一つをとっても、十進数への変換と十六進数への再変換が必要となるため、手計算アルゴリズムの正確性が試される場面となります。

3. アルゴリズムとしての重要性

この「手計算アルゴリズム」としての長乗法は、私たちが基数変換の練習をする際や、コンピュータの動作原理を理解する上で、非常に重要な概念です。特に、コンピュータの初期の算術演算装置（ALU）では、乗算命令を直接実行するのではなく、長乗法の原理に基づいてシフトと加算を繰り返すことで実現していました。これは、現代の高度なプロセッサ設計を理解するための基礎知識にもなるため、単なる算数のテクニックとして片付けることはできない、奥深いテーマなのです。

具体例・活用シーン

長乗法は、基数変換の確認作業や、コンピュータの内部動作のシミュレーションに役立ちます。ここでは、二進数での具体的な計算例と、理解を助けるためのアナロジーをご紹介します。

1. 二進数での長乗法実行例

基数変換の練習として、$13_{10} \times 5_{10}$ を二進数で計算してみましょう。
$13_{10} = 1101_2$
$5_{10} = 101_2$

| 操作 | 結果 |
| :— | :— |
| 被乗数 | $1101_2$ |
| 乗数 | $\times 101_2$ |
| 部分積 1 ($1101 \times 1$) | $1101$ |
| 部分積 2 ($1101 \times 0$, 1桁シフト) | $0000\underline{0}$ |
| 部分積 3 ($1101 \times 1$, 2桁シフト) | $1101\underline{00}$ |
| 合計 | $1000001_2$ |

この結果 $1000001_2$ を十進数に戻すと $64 + 1 = 65$ となり、$13 \times 5 = 65$ と一致します。二進数の計算では、部分積の計算は簡単ですが、最後の加算（$1+1=10$ の桁上げ処理）を正確に行うことが、手計算アルゴリズムの成功の鍵となります。

2. アナロジー：長乗法は「部門連携による建設プロジェクト」

長乗法は、複雑なタスクを分担して処理する「部門連携による建設プロジェクト」に例えることができます。

ある大きなビル（最終的な積）を建設する場合を考えてみましょう。

被乗数（ビル本体の設計図）: 建設されるものの基本構造です。
乗数（各専門部門）: ビルの建設を担うチーム（例：1階担当、10階担当、100階担当）です。

乗数の各桁（各部門）は、設計図（被乗数）に基づいて自分の担当フロアのパーツ（部分積）を作ります。

部分積の算出: 1階担当部門は、設計図全体を基に1階に必要なパーツを作ります。
桁のシフト（位置合わせのルール）: 10階担当部門が作ったパーツは、1階担当部門が作ったパーツの上に正確に重ねる必要があります。この「上に重ねる」作業が、長乗法における「桁のシフト」に相当します。もしシフトを間違えると、10階の壁が1階に建ってしまう、といった致命的なエラー（計算間違い）が発生してしまいます。
合計: すべての部門が作ったパーツを、正しい位置に配置し、積み重ねて（加算して）初めて、完全なビル（最終的な積）が完成します。

このように、長乗法は、各桁の重みを正確に認識し、その結果を適切に配置してから統合する、という非常に構造化された手順（アルゴリズム）であることを理解していただけるかと思います。手計算アルゴリズムとしての長乗法は、この手順の正確性を保証するためのツールなのです。

資格試験向けチェックポイント

長乗法そのものが直接的な出題テーマとなることは稀ですが、その原理はIT Passportや基本情報技術者試験（FE）、応用情報技術者試験（AP）における二進数演算や浮動小数点表現の理解に不可欠です。この「手計算アルゴリズム」の知識が問われる典型的なパターンを把握しておきましょう。

二進数乗算の理解（FE/AP必須）:
二進数の乗算問題が出た際、長乗法の原理を知っていれば、手早く正確に解くことができます。特に、シフトと桁上げのルールを混同しないことが重要です。「1+1=0（桁上げ1）」や「1+1+1=1（桁上げ1）」といった二進加算のルールが、長乗法の最終ステップで正しく適用できるかを確認する問題が頻出します。
シフト演算との関連性（FE/AP）:
長乗法において、部分積を左にシフトさせる操作は、二進数では論理左シフトと完全に一致します。左シフトは「2倍する」操作を意味します。試験では、乗算をシフトと加算の組み合わせで表現する問題や、CPUがどのように乗算を実行するかを問う問題が出ることがあります。長乗法は、このCPUの内部処理を理解するための基礎知識となります。
十六進数の桁上げ処理（FE/APの応用問題）:
十六進数の乗算は、基数変換の応用として出題される可能性があります。特に、アルファベット（A, B, C…）を含む数値の乗算と、その結果を十六進数として表現する際の桁上げ処理（例：$C \times 5 = 3C_{16}$）の正確さが問われます。手計算アルゴリズムの練習を通じて、この複雑な変換に慣れておくことが、得点源になります。
ITパスポートでの基礎知識:
ITパスポートでは、複雑な乗算の実行能力は求められませんが、「コンピュータはシフトと加算で乗算を実現している」という知識の背景として、長乗法の概念を理解しておくことは、選択肢の判断に役立ちます。