マージソート

2025年10月20日

マージソート

英語表記: Merge Sort

概要

マージソートは、大量のデータを効率よく並べ替えるために設計された、非常に重要な「比較ソート」アルゴリズムの一つです。このアルゴリズムは、大きな問題を小さな部分問題に分割し、それぞれを解決してから統合する「分割統治法」を採用しているのが最大の特徴です。特に、最悪のケースにおいても性能が劣化しない安定性を持ち、その時間計算量が$O(n \log n)$という優れた効率性を持つため、「アルゴリズムと計算量」の分野において必ず学習すべき基本技術とされています。

詳細解説

アルゴリズムと計算量の文脈における位置づけ

私たちがマージソートを学ぶ上でまず理解しておきたいのは、これが「アルゴリズムと計算量」という広範なテーマの中で、特に効率的な「ソートアルゴリズム」として位置づけられている点です。

ソートアルゴリズムは、要素同士を比較して順序を決定する「比較ソート」と、比較以外の方法（例：要素の値そのもの）を利用する非比較ソートに大別されます。マージソートは、当然ながら二つの要素を比較して正しい順序に配置するため、比較ソートに分類されます。比較ソートの理論的な限界は$O(n \log n)$とされており、マージソートはこの限界に達する数少ない優れたアルゴリズムの一つなのです。

分割統治法による動作原理

マージソートの動作は、その名前の通り「分割（Divide）」と「統合（Merge）」の二つのフェーズに明確に分かれています。このアプローチこそが、マージソートの強さの秘密です。

1. 分割フェーズ（Divide）

まず、ソートしたいデータ列（リスト）を、中央で二つに均等に分割していきます。この分割操作を、残りのリストの要素数が1になるまで再帰的に繰り返します。要素が1つになったリストは、それ以上分割する必要がなく、「すでにソート済み」とみなされます。この分割作業は非常にシンプルで、計算コストは比較的低いのが特徴です。

2. 統合フェーズ（Merge）

分割が完了したら、今度はそれらを統合（マージ）しながら並べ替えていきます。これがマージソートの肝となる部分です。

要素が1つずつのリストをペアにしてマージします。
二つのリストの先頭要素を比較し、小さい方を新しいリストに追加します。
比較した要素が移動したら、残りのリストの次の要素を再び比較します。
この比較と追加を繰り返し、二つのリストのすべての要素を結合して、完全にソートされた一つのリストを作成します。

このマージ操作を、最終的に全体のデータ列が一つになるまで繰り返します。この統合フェーズこそが、マージソートが安定した性能を発揮する理由です。要素の比較と移動が、常に効率的かつ体系的に行われるため、データの初期状態に左右されにくいのです。

優れた計算量 $O(n \log n)$ の意味

マージソートの計算量は、最良ケース、平均ケース、そして最悪ケースのすべてにおいて$O(n \log n)$です。これは、データ量$n$が増加した際にも、処理時間が非常に緩やかに増加することを意味します。

なぜこのような効率が実現できるのでしょうか。

まず、分割フェーズによって、データはほぼ半分ずつに分割されます。データ全体を1要素になるまで分割する深さは、$\log_2 n$に比例します。次に、統合フェーズでは、各レベル（深さ）で、全体で$n$個の要素を比較・移動する作業が発生します。つまり、深さ（$\log n$）回、全体の要素数$n$に比例する作業を行うため、全体の計算量は$O(n \cdot \log n)$となるわけです。

これは、同じ比較ソートであるクイックソートが最悪時に$O(n^2)$に劣化する可能性があることと比較すると、非常に大きな強みです。マージソートは、大規模なデータセットに対して、予測可能で信頼性の高い性能を提供してくれるのです。

安定性（Stable Sort）

マージソートは「安定なソート」としても知られています。安定性とは、同じ値を持つ複数の要素があった場合、ソート後もそれらの元の相対的な順序が保たれる性質を指します。例えば、社員名簿をまず入社順にソートし、次に部署名でソートする場合など、複数のキーでソートを行う際にこの安定性が非常に重要になります。マージソートはマージ操作の際に、等しい要素が出現した場合に、元の順序を崩さないように処理できるため、安定ソートとして利用価値が高いのです。

具体例・活用シーン

マージソートがどのように機能し、どのような場面で活躍しているのかを理解することで、「ソートアルゴリズム」としての存在意義がより明確になります。

アナロジー：手作業による巨大なトランプの山分け

マージソートの仕組みを理解するために、トランプの山を並べ替える作業を想像してみましょう。

あなたは非常に大量のトランプ（データ）を、数字の順に並べ替えたいと考えています。

分割（山分け）: まず、トランプの山を半分に分け、さらにその半分を半分に、と繰り返し、最終的にトランプが1枚になるまで山分けを続けます。この時点では、並べ替えは行われていませんが、作業の準備が整いました。
統合（マージ）: 次に、1枚ずつの山を2枚組にして戻す作業を始めます。
- 隣り合う2枚のトランプを手に取り、数字を比較して、小さい方を左、大きい方を右に並べて、新しい2枚組の山を作ります。この2枚組の山はすでにソートされています。
- 次に、ソート済みの2枚組の山をペアにして、4枚組の山に戻します。このとき、それぞれの山の先頭のトランプだけを比較し、小さい方から順に新しい山に追加していきます。
- これを繰り返し、8枚組、16枚組と倍々にソート済みの山を大きくしていきます。

この作業の素晴らしい点は、常に「ソート済みの小さな山」を「ソート済みの大きな山」に結合していくため、一度も全体の順序が崩れることなく、最終的に完璧にソートされた一つの巨大なトランプの山が完成することです。これが、分割統治法を用いたマージソートの直感的でパワフルなイメージです。

活用シーン：ビッグデータ処理と外部ソート

マージソートの最も重要な活用シーンの一つが、メモリに収まりきらない巨大なデータセットを扱う場合、すなわち「外部ソート」の基本アルゴリズムとして利用される点です。

例えば、ペタバイト級のログデータを日付順にソートしたいとします。通常のソートアルゴリズム（内部ソート）では、すべてのデータを主記憶（メモリ）にロードできません。

マージソートを用いると、まずデータを小さなブロックに分割し、それぞれのブロックをメモリ内でソート（これは内部ソートで行います。クイックソートなどでも構いません）。その後、ソート済みの小さなブロックをディスクに書き出します。そして、ディスク上に存在するこれらのソート済みブロックを順番に読み込みながら、効率的にマージ（統合）していきます。この「多段階マージ」によって、巨大なデータも確実に、かつ効率的にソートすることができるのです。

また、安定性や確実な$O(n \log n)$の計算量から、JavaやPythonなど、多くのプログラミング言語の標準ライブラリのソート機能の内部実装として採用されていることも多く、私たちが意識せずともその恩恵を受けている場面は非常に多いのですよ。

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資格試験向けチェックポイント

IT資格試験、特にITパスポートから応用情報技術者試験に至るまで、「アルゴリズムと計算量」の分野ではソートアルゴリズムに関する知識が頻繁に問われます。マージソートに関する典型的な出題パターンと学習のコツをまとめました。

ITパスポート・基本情報技術者試験レベル

分割統治法の理解: マージソートとクイックソートは、どちらも分割統治法を用いる代表的なアルゴリズムとして対比されます。「データを分割し、統合時にソートを行う」のがマージソートの特徴であることを覚えておきましょう。
計算量: 最も重要な知識です。マージソートの計算量は常に$O(n \log n)$であり、最悪計算量が$O(n^2)$となる可能性があるバブルソートや挿入ソートなどと比較して、いかに効率的であるかを問う問題が出ます。
安定性: マージソートは「安定ソート」である、という事実を暗記してください。多段階ソートの必要性を問う応用的な問題で、この知識が役立ちます。

応用情報技術者試験レベル

空間計算量（メモリ使用量）: マージソートは、マージ操作を行うために、元のデータとは別に同程度の大きさの作業領域（メモリ）が必要となります。これは、追加のメモリをほとんど必要としないヒープソートなどと比較して、マージソートの弱点として出題されることがあります。計算量（時間効率）だけでなく、空間効率（メモリ効率）もセットで理解することが求められます。
外部ソートとの関連: 外部ソートの基本原理としてマージソートが使われることを深く理解する必要があります。ディスクI/Oの回数を最小化するための多方向マージの概念など、より実践的な応用知識が問われることがあります。
クイックソートとの比較: $O(n \log n)$の代表格であるクイックソートとの比較は頻出です。
- マージソート: 安定、最悪時も$O(n \log n)$、追加メモリが必要。
- クイックソート: 不安定（通常）、最悪時$O(n^2)$の可能性あり、追加メモリは少なくて済む（インプレースソートが可能）。
- どちらが優れているというわけではなく、用途やデータの性質によって使い分けられるという視点が重要です。

これらのチェックポイントを押さえることで、「アルゴリズムと計算量」の分野におけるマージソートの役割と、他のソートアルゴリズムとの違いを明確に理解することができます。ぜひ、これらの知識を武器に試験に臨んでください。

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