負数表現

2025年10月17日

負数表現

英語表記: Negative Number Representation

概要

負数表現とは、コンピュータの内部で負の整数（マイナスの値）をどのように扱うかを定めた方式です。特に「基数変換（二進数, 十六進数）」の分野において、負数を効率的かつ論理的に扱うために、符号ビットと「2の補数」を用いた表現方法が採用されています。これにより、加算回路だけで減算も処理できるようになり、演算処理の効率化とハードウェア設計の簡素化を実現しているのです。

この概念は、私たちが普段扱う十進数とは異なる、二進数の世界における数の表現方法であり、「補数表現と負数」というカテゴリの中で、最も実用的で標準的な手法として位置づけられています。

詳細解説

負数表現は、単に数字の前にマイナス記号をつけるという人間の直感的な方法とは大きく異なり、ハードウェア（CPU）が高速かつ正確に計算できるように設計されています。その核となるのが、「2の補数」の考え方です。

1. 符号ビットの採用

コンピュータのメモリやレジスタはビット（0または1）の並びで構成されています。このビット列の中で、一番左端のビット（最上位ビット、MSB: Most Significant Bit）を「符号ビット」として利用します。

符号ビットが 0 の場合：その数は正の値（またはゼロ）
符号ビットが 1 の場合：その数は負の値

これにより、ビット列を見た瞬間に、その数がプラスかマイナスかを判断できるわけですが、負の値を表現する際には、単に符号ビットを1にするだけでは不十分です。

2. 2の補数による負の数の定義

もし単純に符号ビットだけを変える「符号・絶対値表現」を使ってしまうと、「+0」と「-0」の二種類のゼロができてしまったり、加算と減算で異なる回路が必要になったりする不都合が生じます。

そこで登場するのが、本記事の文脈である「2の補数」です。2の補数表現では、負の数 $N$ は、「その数と足し合わせると、桁あふれ（オーバーフロー）を無視したときにゼロになる値」として定義されます。

＜2の補数による負数表現の仕組み＞

正の数 $P$ を二進数で表現します。
1の補数を求めます。 これは、元の二進数のすべてのビットを反転させる（0を1に、1を0にする）操作です。
2の補数を求めます。 1の補数に 1 を加えます。

この手順で得られたビット列が、元の正の数 $P$ の負の値（$-P$）として表現されます。この表現方法の最大の利点は、減算（A – B）を、A に B の負数表現（-B）を加算する（A + (-B)）という形で統一できる点にあります。CPUの設計者は、複雑な減算回路を用意する必要がなくなり、加算器だけで済むため、ハードウェアが非常にシンプルになるのです。これは、基数変換の知識がコンピュータの効率に直結している、非常に感動的な例だと思います。

3. 表現可能な範囲

ビット数が決まると、表現できる数の範囲も自動的に決まります。例えば $N$ ビットの場合、表現できる整数は $2^N$ 種類です。2の補数表現では、その範囲がほぼ半分に分かれ、正の数と負の数に割り当てられます。

最小値（最も大きな負の数）：$-2^{N-1}$
最大値（最も大きな正の数）：$2^{N-1} – 1$

8ビットの場合、正の数は 0 から 127 (0111 1111) まで、負の数は -128 (1000 0000) から -1 (1111 1111) まで表現できます。この非対称性（負の側が一つだけ大きい）も、2の補数表現の特徴の一つです。

具体例・活用シーン

負数表現、特に2の補数表現は、現代のあらゆるデジタルデバイスの計算処理の根幹を担っています。

1. 8ビットでの「-5」の表現例

私たちが 8ビットのシステムで「-5」という数を表現したい場合、以下の手順を踏みます。

正の数 +5 を二進数で表現します。
0000 0101
1の補数を求めます（全ビット反転）。
1111 1010
1を加えます（2の補数）。
1111 1010 + 1 = 1111 1011

したがって、8ビットのシステムにおいて、「1111 1011」は「-5」を意味します。このビット列の最上位ビット（左端）が 1 であるため、これは負の数だと即座に判断できます。

2. 時計の文字盤を使ったアナログ表現（メタファー）

2の補数の考え方を理解するのに、時計の文字盤を想像するメタファーが非常に役立ちます。

仮に、私たちが 12 時間表示の時計（1から12まで）しか持っていないとしましょう。この時計の文字盤が、コンピュータのビット数の上限（モジュロ演算）を表しています。

現在時刻が 10 時だとします。ここから「3 時間戻る」という操作（減算、つまり -3）をしたい場合、文字盤を逆回りに 3 つ進めます。結果は 7 時です。

しかし、コンピュータは基本的に加算しかできません。そこで、「3 時間戻る」の代わりに、「何時間進めれば、結果的に 3 時間戻ったのと同じになるか」を考えます。

12（上限） – 3 = 9 です。

つまり、10 時から「9 時間進める」という操作（加算、つまり +9）を行っても、結果は 7 時になります。

このとき、「-3」という負の数を、システムの容量（12）から引いた値「9」で表現していることになります。これがまさに 2の補数の考え方です。コンピュータは「-3」を知る必要はなく、「+9」を加算すればよいだけなのです。この発想の転換こそが、基数変換における負数表現の核心であり、計算機科学の美しさだと感じます。

資格試験向けチェックポイント

「負数表現」に関する問題は、ITパスポート試験（Iパス）、基本情報技術者試験（FE）、応用情報技術者試験（AP）のいずれにおいても、基数変換やデータ表現の分野で頻出します。特に2の補数の計算手順と、表現範囲の理解が問われます。

計算手順の確実な理解:
- 正の数から負の数を導出する手順（ビット反転 → +1）を、素早く正確に行えるように訓練してください。特に 8ビットや 16ビットでの計算練習は必須です。
表現範囲の計算:
- $N$ ビットで表現できる整数（2の補数表現）の最小値（$-2^{N-1}$）と最大値（$2^{N-1} – 1$）を問う問題は非常に多いです。例えば、「16ビットで表現できる最小の負の数は何か？」といった形式で出題されます。
減算の加算化:
- 「A – B」の計算を「A + (-B)」として実行する際の、-B の表現（2の補数）を計算させる問題が出ます。これは、加算器が減算も処理できるという、補数表現の最大の利点を理解しているかを確認するものです。
最上位ビット（符号ビット）の確認:
- 与えられた二進数が正の数か負の数かを、符号ビット（MSB）を見て瞬時に判断できるかが問われます。MSBが 1 であれば必ず負の数です。
オーバフローの概念:
- 2の補数表現を用いた加算において、計算結果が定められたビット数（例えば 8ビット）の範囲を超えた場合に発生する「オーバーフロー」の判定方法も、応用的な知識として問われることがあります。