状態遷移

2025年10月20日

状態遷移

英語表記: State Transition

概要

状態遷移とは、アルゴリズムが問題を解き進める過程において、ある時点の「状態」（部分問題の解）から、次の時点の「状態」へと移行するプロセスを指します。特に、動的計画法（Dynamic Programming, DP）においては、この状態遷移のルールを明確に定義することが、複雑な問題を効率的に解くための鍵となります。私たちプログラマが、問題を段階的に解決していくための「ロードマップ」そのものだと考えていただくと、非常にしっくりくるでしょう。

詳細解説

動的計画法における状態遷移の役割

この概念は、「アルゴリズムと計算量」という大きな枠組みの中で、特に「動的計画法」の核心をなす「基本概念」の一つです。動的計画法（DP）は、大きな問題をそのまま解くのではなく、重複する部分問題に分割し、その解を再利用することで、指数関数的な計算量を多項式時間に抑えることを目的としています。

状態遷移は、この「部分問題の解の再利用」を可能にするための橋渡し役です。具体的には、「現在の状態が最適であれば、そこに至るまでの過程も最適であったはずだ」という最適性の原理に基づき、状態 $i$ の最適な結果を利用して、次の状態 $i+1$ の最適な結果を導出します。これぞ、DPが持つ驚くべき効率性の源泉だと私は感じています。

主要コンポーネントと動作原理

動的計画法における状態遷移は、主に以下の3つの要素で構成されます。

1. 状態 (State)

状態とは、部分問題を一意に特定するための情報セットです。例えば、ナップサック問題であれば、「$i$番目までの品物を見て、容量 $w$ を使ったときの最大価値」などが状態として定義されます。状態をいかに適切に定義するかが、DPの成否を分けます。

2. 遷移 (Transition)

遷移とは、ある状態から次の状態へ移行する際の具体的な操作やルールです。これは通常、漸化式（ぜんかしき）として表現されます。例えば、フィボナッチ数列であれば、「次の項（状態 $n$）は、前の2つの項（状態 $n-1$ と状態 $n-2$）の和によって決まる」という遷移ルールが存在します。この漸化式こそが、私たちが解きたい問題の構造を数理的に捉えたものです。

3. 遷移コストまたは値

遷移に伴って得られる利益やコストです。最短経路問題であれば、次のノードへ移動する際の「距離」がコストになりますし、ナップサック問題であれば、次のアイテムを採用することで得られる「価値」が値になります。DPでは、このコストや値を最小化（または最大化）する遷移を常に選択し続けます。

動作の流れ

DPにおける状態遷移の動作は、基本的にボトムアップ（下から上へ）またはトップダウン（上から下へ）のアプローチで実行されますが、いずれにしても「小さな部分問題の解を先に確定させる」という構造は変わりません。

初期状態の設定: 最も単純な部分問題（ベースケース）の解を決めます。
遷移の適用: 初期状態からスタートし、定義された遷移ルール（漸化式）に従って、一つ上の状態（より複雑な部分問題）の解を計算します。
メモ化/テーブル更新: 計算した解（最適値）をテーブル（DPテーブル）に保存します。この保存された値が、次の状態への遷移の基礎となります。
最終状態への到達: この遷移を繰り返すことで、最終的に求めたい問題全体の解が含まれる「最終状態」に到達します。

この一連のプロセスを通じて、同じ部分問題を何度も計算する無駄を徹底的に排除し、「アルゴリズムと計算量」の文脈で求められる高い効率性を実現しているのです。DPを学ぶと、計算量の削減がいかに強力な武器になるかを実感できますよ。

具体例・活用シーン

動的計画法における状態遷移は、非常に多くの場面で活用されています。ここでは、初心者の方にも分かりやすい具体的な例と、一つのアナロジーをご紹介します。

1. ナップサック問題

問題: 限られた容量のナップサックに、価値と重さが異なる品物を詰めるとき、総価値を最大化するにはどの品物を選ぶべきか。
状態: $DP[i][w]$ （$i$番目までの品物から選び、重さ $w$ 以下に収めたときの最大価値）。
遷移:
- $i$番目の品物を選ばない場合: $DP[i-1][w]$ の価値を引き継ぎます。
- $i$番目の品物を選ぶ場合: $DP[i-1][w – \text{重さ}_i] + \text{価値}_i$ の価値が得られます。
状態遷移の選択: この二つの遷移のうち、価値が最大となる方を選択して、次の状態 $DP[i][w]$ を決定します。私たちが目の前の選択肢を比較検討して、最良の行動を選ぶのと全く同じ構造ですね。

2. 最短経路問題 (DPを用いた場合)

状態: $DP[i]$ （地点 $i$ に到達するまでの最短距離）。
遷移: 地点 $j$ から地点 $i$ へ移動する際のコストを考慮し、$DP[i] = \min (DP[j] + \text{コスト}_{j \to i})$ のように、一つ前の状態 $j$ の最適解を利用して、現在の状態 $i$ の最適解を更新します。

3. アナロジー：山頂への最短ルート探索

動的計画法における状態遷移を理解するための最も分かりやすいアナロジーは、「登山ルートの決定」です。

あなたは標高の高い山頂を目指しています。しかし、道は無数に枝分かれしており、どのルートが一番早いか分かりません。

状態の定義: 登山道にある休憩所や目印となる地点を「状態」と定義します。例えば、「地点A」「地点B」などです。
遷移の定義: 一つの休憩所（状態）から次の休憩所へ移動する道筋が「遷移」です。
遷移コスト: 各道筋には、かかる「時間」というコストが設定されています。

このとき、私たちが考えるのは、「現在いる休憩所（状態）から、次の休憩所へ行くのに、最短の時間で移動できるのはどのルートか？」ということです。

もし、地点Bに最短時間でたどり着く方法がわかっていれば、その地点Bを経由して地点Cに行く最短時間は、「（地点Bへの最短時間）＋（BからCへの移動時間）」として簡単に計算できます。

つまり、私たちは常に、過去の最適な結果（前の休憩所への最短到達時間）だけを見て、次の状態（次の休憩所）への最適な遷移（ルート）を選択しているのです。これがまさに、状態遷移の繰り返しによって、最終的な山頂（最終状態）への最短ルート（最適解）を見つけ出す動的計画法の仕組みそのものなのです。一つ前の判断が、次の判断に影響を与えるという、非常に論理的な考え方だと思いませんか？

資格試験向けチェックポイント

動的計画法（DP）は、応用情報技術者試験や基本情報技術者試験で頻出のテーマであり、状態遷移の概念はその理解に不可欠です。ITパスポートでは概念的な理解が求められますが、上位試験では具体的な適用能力が問われます。

1. 最適性の原理とDPの関係

出題パターン: 「動的計画法が適用できるのは、どのような性質を持つ問題か？」という問いに対し、「最適性の原理（ある状態の最適解が、その後の状態の最適解にも利用できる性質）が成り立つ問題である」と答えられる必要があります。状態遷移は、この原理を実現するための手段です。

2. 状態の定義と漸化式の理解

出題パターン: ナップサック問題や最短経路問題（特にフロイド・ワーシャル法やベルマン・フォード法などDPベースのアルゴリズム）の例題が出され、DPテーブルの一部を埋める問題や、遷移を表す漸化式（状態方程式）を選択させる問題が出ます。
学習のコツ: 状態 $DP[i][j]$ が具体的に何を意味しているのか（例：$i$番目まで、$j$容量まで）を常に意識し、遷移の際に「選ぶ」か「選ばない」か、あるいは「最小化」か「最大化」かを判断するロジックを理解することが重要です。

3. 計算量の削減効果

出題パターン: DPを使用しない場合の計算量（例：$O(2^n)$）と、DPを使用した場合の計算量（例：$O(n^2)$ や $O(n \cdot W)$）を比較させる問題が出ることがあります。
対策: 状態遷移によって重複計算がどのように排除され、計算量が劇的に改善されるのかを、アルゴリズムと計算量の観点から説明できるようにしておきましょう。これがDPの最大のメリットですからね。